Гравитация и космология

В.М. Липунов и А.Н. Петров

Астрономический иститут им. П.К.Штернберга, МГУ

План беседы

1. Почему среди гравитационных теорий общая теория относительности (ОТО)═══ более предпочтительна?

2. Принцип Маха и принципы построения ОТО.

3. Теория гравитации и другие физические теории. Плоское пространство Минковского и искривленное пространство-время ОТО.

4. Примеры проявления гравитационной энергии в ОТО, ее специфика и проблема определения.

5. Прикладные задачи в ОТО, где гравитационное поле проявляет себя как возмущения в фоновом пространстве-времени.

6. Полевая формулировка ОТО.

7. Вакуумная энергия, космологическая постоянная и современные наблюдения. Переформулировка принципа Маха.

8. Космологическая постоянная и модифицированная ОТО.

9. Квазилокальный подход к определению энергии в ОТО.

1. В нашей беседе речь пойдет о законах тяготения, которые в современной теории описываются гравитационным полем. Прежде всего, когда мы будем говорить о гравитационном поле, то будем иметь в виду, что оно описывается общей теорий относительности (ОТО), то есть гравитационной теорией Эйнштейна, где гравитирующие массы и поля, взаимодействуя между собой, "прогибают" (искривляют) пространство-время, в котором они распространяются.═ Таким образом, в ОТО искривленная геометрия --- это и есть═ гравитационное поле, чем сильнее "искривления", тем сильнее гравитационное поле.

Почему ОТО? Действительно, существуют другие гравитационные теории, и не одна. Для теории гравитации, как и для других физических теорий, основной критерий истины --- это эксперимент. Основные из них --- это измерения а) отклонений лучей═ звезд в гравитационном поле Солнца, б) смещения перегелия Меркурия; в) радиолокация планет.═ Несмотря на то, что точность этих кспериментов из года в год возрастает, и значительно, результаты измерений остаются в бесспорном соответствии с предсказаниями ОТО. Нужно сказать, что есть и другие теории, которые с определенными ограничениями на параметры удовлетворяют эспериментам, скажем скалярно-тензорные теории гравитации. Однако, ОТО до сих пор является самой гармоничной, если можно сказать самой красивой теорией, в которой нет "лишних" элементов и предположений.═ Последние аргументы также очень важны как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. Таким образом, на современном уровне развития как теоретической мысли, так и наблюдательной базы предпочтение отдается ОТО.

2. Было бы полезно вернуться к основам построения ОТО, к роли, которую придавал принципу Маха в ее обосновании Эйнштейн. Принцип Маха соотносит инерцию тел═ с существованием внешних масс, и кратко═ формулируется следующим образом: Нет инерции в пустой Вселенной! То, что и ньютонова механика,═ и специальная теория относительности имеют очень зыбкие основания, Эйнштейн пояснил на очень простом примере. Рассмотрим совершенно пустую Вселенную, в которой два совершенно одинаковых жидких тела вращаются вокруг общей оси так, что их центры расположены на ней. Два наблюдателя измеряют формы тел и приходят к различным результатам. Один, находясь на первом теле говорит, что, поскольку оно покоится относительно пустого пространства (назовем его 1-м), то форма тела не изменилась. Другой, наблюдающий за вторым телом со стороны говорит, что поскольку оно вращается относительно пустого пространства (назовем его 2-м), то сплюснуто к экватору. Разрешить этот парадокс помогает следующая логика. Прежде всего, поскольку пустое пространство --- везде только пустое пространство, то между 1-м и 2-м нет различия, которое можно было бы наблюдать. Поэтому, заключает Эйнштейн, пространство должно определяться какими-то внешними массами. А это немедленно ведет к тому, что теория гравитации должна быть геометрической, то есть само пространство-время (пустое или непустое) определяется (задается) некоторой "фундаментальной" материей, и не определено без такой материи в принципе. Естественным стремлением было отнести эти "фундаментальные" массы на бесконечность. Эти попытки, однако, потерпели неудачу из-за неясных граничных условий. Другая причина было в том, что Вселенная переставала быть статической, что не вписывалось в современные Эйнштейну представления о ней.

В это время у Эйнштейна возникла идея: если невозможно предложить подходящие граничные условия на бесконечности, давайте избавимся от самой бесконечности. Проблема исчезнет сама по себе. Таким образом, возникла идея статической═ замкнутой Вселенной. Именно тогда Эйнштейн пришел к необходимости ввести антигравитацию с помощью космологической постоянной, так называемого лямбда-члена, который к счастью не разрушает ни постулатов, ни следствий ОТО. Эта была странная Вселенная, где притяжение однородно распределенной материи было сбалансировано антригравитацией космологической постоянной. Любое сколь угодно малое возмущение либо в ту, либо в другую сторону, все равно, приводит либо к расширению, либо к сжатию. А это было бы недопустимо, поскольку инерционные свойства стали бы зависеть от времени.

Де Ситтер спас эту ситуацию, заметив, что для построения статической космологии нет необходимости в "наполняющих"═ массах вообще. На самом деле оказалось достаточным использовать космологическую постоянную в пустом пространстве. Де Ситтер, анализируя неудачи Эйнштейна, отнес их к введению Эйнштейном, сначала удаленных масс, затем распределенных. Как раз к их наличию соотносился и принцип Маха. С построением статической пустой Вселенной создалось впечатление, что роль принципа Маха принижается. Действительно, в пустом пространстве есть геометрия лишь с космологической постоянной и без материи. Позднее Фридман нашел решения, где лямбда-член и материя сосуществуют без противоречий вместе, а вселенные Эйнштейна и де Ситтера оказываются лишь их частными случаями. Когда оказалось, что реальная Вселенная расширяется, то сама проблема космологической постоянной на какое-то время перестала быть такой острой.

3. Таким образом, мы показали, что обоснования в пользу геометрической теории гравитации имеют серьезные именно физические аргументы, и весьма драматическую историю. Теперь, сравним описание других "обычных" (отличных от гравитационного) полей, таких как электроимагнитное, или любых других═ с гравитационным. Эксперименты с участием обычных полей успешно проводятся на Земле, в лабораторных условиях. В этом случае влияние гравитационного поля, точнее сказать проявлений эффектов ОТО, на эксперимент совершенно незначительно. Таким образом нет необходимости учитывать их взаимодействие с гравитацией, и их теория (или теории) разрабатывается в "плоском" (неискривленном) пространстве-времени, его еще называют пространством Минковкого. Пространство Минковского служит как бы ареной, на которой и разыгрывается "драма" физических взаимодействий. Другими словами пространство═ Минковского --- это структура с понятными неизменными свойствами, это "решетка" по отношению к которой изучаются физические поля, их взаимодействие и движение. Такое описание имеет громадные преимущества. Одна из главных характеристик системы --- действие --- оказывается инвариантной (неизменной) относительно смещений "по линии времени", по пространственным координатам, относительно вращений. Так, без изменения действия можно изменить начало отсчета как для времени, так и для пространственных координат. Эти простые свойства позволяют определить главные характеристики системы, такие как энергия, импульс, угловой момент и законы сохранения для них. Также ясно как в пространстве Минковского проводить квантовавние.

В ОТО ситуация отлична. С одной стороны, там есть тоже арена, на которой разворачиваются взаимодействия --- это пространство-время, более точно --- метрические коэффициенты. С другой стороны, метрические коэффициенты сами являются динамическим (гравитационным) полем, которое изменяется под воздействием остальных полей. Кроме того, оно изменяется под воздействием самого на себя --- обладает самодействием!═ Таким образом, в ОТО нет той "основы", которая есть в полевых теориях в пространстве Минковского. В связи с этим возникает проблема в определении таких важных для физических систем характеристик, как энергия.

До построения ОТО и вплоть до настоящего времени, имея ввиду преимущества наличия пространства Минковского, всегда было привлекательно построить гравитационную теорию точно так же как все остальные полевые теории, то есть в виде некоторого поля распространяющегося в пространстве Минковского.═ Сам Эйнштейн пытался строить такие теории. Однако последовательное построение, где соблюдаются требования удовлетворить наблюдениям и создать логически непротиворечивую терию с минимальным набором требований (даже без аппеляции к физическим аргументам изложнным выше) неизбежно приводят к ОТО. Кажется, что мы пришли к противоречию: начинаем построения, где есть пространство Минковского, а приходим к ОТО, где его нет. Это так, но в этом нет противоречия.═ Физическое наличие пространства Минковского можно установить только с помощью физических же измерений.═ Так, в обычной электродинамике в лабораторных условиях, лучи света будут распространяться по прямым и везде со стандартной скоростью света с.═ Это и будет определять пространство Минковского.═ Если же мы построим теорию гравитационного поля в пространстве Минковского, то в такой теории лучи света будут отклоняться этим полем --- станут кривыми.═ Если измерить скорость света относительно исходного пространства Минковского, то окажется, что она уже не с!═ Таким образом, пространство Минковского перестает быть наблюдаемым с помощью света, или каких-то других полей. Более того, не удается его определить даже с помощью гравитационных волн.

4. Итак, поскольку в ОТО нет той "решетки" --- пространства Минковского (а более правильно говоря, нет фиксированного, пространства-времени, не подверженного действию динамических полей), относительно которой можно было бы определить энергию и другие сохраняющиеся величины, возникает вопрос: А обладает ли вообще гравитационное поле такими характеристиками как энергия? Ответ положительный. a) Прежде всего, одно из предсказаний ОТО --- это существование гравитационных волн, которые, как и всякие другие волны должны переносить энергию, обладать энергией. В самом ближайшем будущем планируется их детектирование. б) Теперь, давайте рассмотрим двойную систему, то есть систему двух звезд, вращающихся вокруг общего центра тяжести, и связанных гравитационным притяжением. Чтобы "разорвать" ее --- разнести звезды на расстояние, где их взаимодействием можно пренебречь --- нужно привнести извне достаточное количество энергии. Ситуацию можно интерпретировать так, что отрицательная энергия связи гравитационного поля компенсируется положительной внешней энергией. в) Такая интерпретация подтверждается и длительными наблюдениями за некоторыми двойными пульсарами, орбиты которых со временем сближаются.═ Это объясняется тем, что гравитационные волны, которые всегда излучаются двойной системой, уносят положительную энергию, тем самым увеличивают отрицательную (в абсолютном смысле) энергию связи. С другой стороны, наблюдения за двойными пульсарами косвенным образом подтверждают существование гравитационных волн. г) Предельный случай, где "участвует" отрицательная энергия связи гравитационного поля --- это замкнутая Вселенная. Полная энергия такой модели оказывается нулевой. Дело в том, что вся положительная энергия гравитирующей материи в такой Вселенной компенсируется отрицательной энергией связи.

Однако, существуют особые отличительные свойства энергии гравитационного поля --- она проявляет себя только в "глобальных" эффектах. В отличие от энергии всей остальной "обычной" материи энергия гравитационного поля не локализуется. Это означает, что нельзя однозначно в каждой точке определить плотность гравитационной энергии. Физическая причина этого в основах ОТО, один из постулатов которой ---═ принцип эквивалентности, который заключается в следующем: Свободно падающий в гравитационном поле наблюдатель не почувствует никакого гравитационного поля, если его размеры малы в сравнении с характерной длиной изменения гравитационного поля. Это═ означает как раз, что для такого наблюдателя плотность энергии гравитационного поля равна нулю. --- Или, если вначале она была как-то определена, то после изменения системы координат, которая никак не должна═ изменять систему, может быть обращена в нуль. Математическая причина нелокализуемости как раз в том, что в общем в ОТО нет "решетки", относительно которой можно было бы локализовать энергию. Можно было бы эту решетку (пространство Минковского, или какое-либо другое фиксированное пространство-время) "подставить руками", но тогда для каждой подставки будет своя локализация. Теперь неопределенность будет проявляться в этом.

5. Но тогда, поскольку действительно существуют неоспоримые аргументы в пользу существования гравитационной энергии (и других главных характеристик системы), возникает вопрос, а как развивать представления о них?═ Как мы только, что сказали, выбор "решетки" может решить проблему локализации.═ Так вот, оказывается, что во многих конкретных задачах, где используется ОТО, этот выбор решетки не настолько уж неопределен.═ Часто этот выбор диктуется самим характером задач. Таким, образом, как мы уже упоминали, пространство-время в лаборатории на Земле, вполне можно аппроксимировать пространством Минковского (за вычетом однородного поля Земли), которое в данном случае определено совершенно однозначно. Так вот, при разработке эксперимента по детектированию гравитационных волн как раз предполагается, что гравитационная волна --- это возмущения в плоском пространстве-времени, в фоновом пространстве Минковского. Относительно него и рассчитываются все измерения.═ Другими примерами, где сама задача определяет фоновое пространство-время, являются космологические задачи. Действительно, в подавляющем большинстве таких задач изучаются возмущения и распространение возмущений материальных полей, а также гравитационных волн на фоне таких космологических решений, как решения Фридмана, де Ситтера.═ Такие искривленные фоны также диктуются самой зачей, а не задаются руками.═ Они являются как бы усредненной геометрией Вселенной, которая существует реально и наблюдается. Когда рассматриваются возмущения на фоне релятивистских объектов, таких как черные дыры или нейтронные звезды, то геометрия вокруг таких объектов также однозначно определяется гравитирующим центром, и вполне может служить фоновой геометрией, "решеткой", относительно которой изучаются все остальные поля и гравитационные возмущения.

Вернемся к вопросу определения энергии в ОТО.═ В каких еще случаях пространство Минковского могло бы играть роль фона в ОТО?═ Представим, что существует некая одиночная звезда (островная система) и больше ничего. Ясно, что чем дальше мы удаляемся от звезды, тем меньше этот гравитирующий центр "прогибает" пространство-время, то есть, чем дальше мы от звезды, тем более оно становится похожим на пространство Минковского.═ Наконец, на достаточном удалении вполне можно считать, что пространство Минковского --- это физическая реальность, а гравитационное поле --- лишь возмущения на его фоне.═ Такое пространство-время обычно называют асимптотически плоским. В этом случае, будучи физической реальностью, пространство Минковского вполне может играть роль опорной решетки, и═ вопрос об определении энергии такой системы становится вполне осмысленным. Несмотря на кажущуюся простоту модели, только совсем недавно (в сравнении с возрастом ОТО), в начале 80-х, удалось доказать так называемую "теорему положительности энергии гравитационного поля". На самом деле она звучит так: "Полная энергия островной системы всегда положительна; если массу гравитирующего центра устремить к нулю, то и полная энергия станет равной нулю." Доказательство оказалось очень сложной задачей математической физики. Существует некое несоответствие между названием теоремы и ее содержанием. Действительно, на самом деле речь идет о всей системе в целом, а не об отдельно энергии гравитационного поля, но так уже сложилось исторически.═ Положим, что полная энергия (масса) всей системы определилась как М --- она равна параметру массы в решении ОТО для изолированной системы.═ Представим, что пространство Минковского, определенное на бесконечном удалении, используется все ближе и ближе к гравитирующему центру в качестве основы для определения энергии материи и гравитационного поля под сферой не такого уж большого радиуса. Тогда полная энергия определенная под такой сферой будет больше чем М. Таким образом энергия свободного гравитационного поля вне такой сферы должна быть отрицательной, и это находится в соответствии с качественными оценками, которые мы сделали выше.═ В предельном случае черной дыры, ее полная энергия без внешнего гравитационного поля во многих исследованиях оказывается равной 2М, то есть в два раза больше заложенного в решении ОТО параметра.

6. Подведем некоторый итог.═ Мы пришли к выводу, что в ОТО отличается принципиально от других физических теорий, и определить энергию и другие сохраняющиеся величины нельзя обычным способом. Тем не менее, можно сказать во всех приложениях, или в подавляющем большинстве приложений это сделать можно, поскольку в самих задачах естественным образом (можно установить с помощью наблюдений) определеляется фоновое пространство-время как основа для определения энегии и других важных характеристик. Исследователи так и поступают, изучают физические поля и возмущения гравитационного поля на этих естественных фонах. В каждом случае ставится какая-то конкретная задача, условно говоря используется некий частный алгоритм,═ и частная задача решается. Как правило, в линейном по возмущениям приближении. Однако многообразие задач, возрастающая точность эксперимента, где уже становится невозможным ограничиться линейным приближением, --- все это требует единого подхода.

Такой подход был разработан.═ Назовем его полевой формулировкой ОТО. Особенно нужно подчеркнуть, что это все та же самая теория Эйнштейна, только в отличной форме.═ По физическому смыслу, по предсказаниям результатов экспериментов полевая формулировка не отличается от ОТО в обычной (геометрической) формулировке. Однако техника полевого подхода к ОТО позволяет более просто решать═ многие задачи, более естественно интерпретировать решения.═ Итак, для полевого описания выбирается либо плоский фон, либо искривленный --- такой, какой необходим для определенной задачи.═ Фактически ограничений в выборе фона нет. Относительно него конструируются полевые уравнения, энергия, и другие сохраняющиеся величины.═ Причем уравнения полевого подхода дают ясный ответ как изменится определение, скажем энергии, при переходе от одного фона к другому.═ Такой подход дает возможность описывать возмущения с какой угодно точностью, а не только в низшем линейном приближении.═ Это становится особенно важным, поскольку═ необходимость учитывать в космологических рассчетах не только линейные возмущения, но и квадратичные (самодействующие) поправки становится все более очевидной.

Одним из интересных приложений полевой формулировки является описание уже упомянутой замкнутой Вселенной.═ Геометрически такая Вселенная представляется так называемой 3-мерной сферой, свойства которой напоминают свойства обычной сферы --- поверхности шара, которую мы хорошо представляем.═ Таким образом, объем 3-мерной сферы конечен, он заполнен конечным количеством материи. Нет никаких границ --- такая геометрия замкнута, она мыслится сама по себе, а не как погруженная еще в какое-либо пространство. Так вот, даже в этом сложном случае оказывается возможным применить полевой подход с использованием в качестве фонового пространства-времени пространство Минковского.═ Вся сложная геометрия представляется гравитационным полем в пространстве Минковского. Не используются никакие приближения.═ Движения частиц и света в такой модели на плоском фоне оказывается совершенно необычным. Когда же мы посчитаем энергию, импульс, угловой момент --- все они окажутся нулевыми, как и должно быть для замкнутой Вселенной, о чем мы говорили выше.

Полевой подход оказался также очень полезным для исследования тонких, с учетом квадратичных поправок, эффектов в моделях с асимптотически плоским пространством-временем.

7. Теперь вернемся к так называемой проблеме космологической постоянной. С открытием расширения Вселенной необходимость ее использования как бы исчезла на время, но проблема осталась. Джина выпустили из бутылки. Уравнения Эйнштейна могут быть записаны как с этой постоянной, так и без нее. Однако, квантовая теория предсказывает, что вакуум должен обладать своей собственной энергией. Это стало совершенно ясно после известной работы Глинера, в которой в пустом пространстве энергия вакуума проявляет себя как эффективный тензор энергии-импульса в правой части уравнений Эйнштейна. Он фактически обуславливает весьма значительное значение для космологической постоянной. Возвращаясь к идее де Ситтера использовать Лямбда-член в пустом пространстве, интерпретация меняется противоположным образом. Присутствие Лямбда-члена "не выхолащивает" пространство-время, а наоборот, "запоняет" его вакуумной энергией.

С другой стороны, до недавнего времени считалось, это следовало из наблюдений, что космологическая постоянная в нашей Вселенной с очень высокой степенью точности равна нулю. В этом случае, расширение Вселенной должно происходить с замедлением, по простой причине, что взаимное притяжение материи во Вселенной должно тормозить расширение.═ Итак, проблемой было объяснить: почему космологическая постоянная с очень высокой степенью точности исчезает? Какие механизмы и почему так точно компенсируют энергию вакуума?

Совсем недавние надежные наблюдения показали, что Вселенная расширяется с ускорением!!! Таким образом, эффективная космологическая постоянная все-таки существует, причем такая, которая создает весьма ощутимую антигравитацию. Это является одним из горячих мест современной космологии.═ Во-первых, в рамках═ "присутствия" этой величины анализируются заново уже известные эффекты, во-вторых, специалисты в поиске новых эффектов, которые могли бы следовать из наличия космологической постоянной. Так, возникают вопросы в уже устоявшемся и решившим многие проблемы инфляционном сценарии. С другой стороны, сценарии с "бранами" представляются более жизненноспособными в свете новых данных. Наконец,═ нужно объяснять чем она обусловлена наблюдаемая космологическая постоянная и почему она именно такая какая есть.

Теперь интересно в свете новых наблюдательных результатов пересмотреть отношение к принципу Маха, который должен быть связан с однородной вакуумной энергией, то есть с космологической постоянной. Его можно было бы переформулировать как:

Массы фундаментальных частиц количественно обусловлены космологической постоянной. Если она равна нулю, то и массы фундаментальных частиц также равны нулю.

Такое определение может оказаться слишком смелым, действительно:

1) Вакуумное состояние должно быть Лоренц-инвариантным. Вакуумная энергия не зависит от движения тела, и никак не препятствует этому движению.

2) Современная квантовая теория предсказывает энергию вакуума в 100 раз большей, чем следует из астрономических наблюдений.

Тем не менее эти утверждения═ нельзя считать такими уж решающими, поскольку данные могут измениться.

Во-первых, Введение космологической постоянной позволяет построить саму по себе пространственно-временную систему и сделать движение наблюдаемым. Таким образом и инерция может рассматриваться как результат существования постранственно-временного континуума.

Во-вторых, Теория великогоо объединения далека от завершения, и нельзя считать, что современное значение вакуумной энергии не изменится с развитием теории.

Итак, в соответствии с═ принципом Маха в новой формулировке космологический член теоретически не может быть равен нулю. Можно предположить, что массы фундаментальных частиц распределены как четные степени лямбда-члена при его устремлении к нулю.

8. Подобраться к проблеме космологической постоянной пытаются и с помощью изменения гравитационной теории. В оригинальной формулировке теории Эйнштейна космологическая постоянная, как говорилось, задается руками, то есть определяется и все. Сразу возникает вопрос: почему?

Однако существуют минимальные изменения ОТО, где можно сказать, не изменяются сами уравнения, а изменяются условия при которых они могут решаться (условия интегрирования). Таким образом, в одной из таких "пере"формулировок ОТО космологическая постоянная появляется только после решения (интегрирования) уравнений, как постоянная этого интегрирования. Поэтому вопрос о том почему космологическая постоянная именно такая, какая есть, заменяется вопросом как бы следующей ступеньки исследования: почему начальные условия интегрирования такие, а не иные. Как видно в этом вопросе уже присутствует больший физический смысл. Так вот, чтобы построить такую модифицированную ОТО и сохранить необходимый ковариантный (независимый от изменения координат) вид, на исходном этапе ее построения необходимо использовать вспомогательное фоновое пространство-время, можно просто пространство Минковского. Таким образом, элементы полевого подхода могут появиться и в такого рода космологических задачах.

Если же вернуться к определению энергии в ОТО, то полевой подход является далеко не единственным методом, который стремился бы непротиворечивой и полезной в приложениях формулировке. Такие подходы даже сложно перечислить, однако, большинство из них, несмотря на существенные различия в математической технике, сводятся к определению так называемых квази-локальных величин. Построение квази-локальных величин и изучение их свойсв одно из самых популярных и активно развивающихся направлений в последние десять лет. В полевом подходе квазилокальная энергия и другие квазилокальные величины возникают также естественно. Необходимость изучать именно квазилокальные величины не случайна, а следует из уже упомянутого свойства, что гравитационная энергия проявляет себя скорее в глобальных эффектах, чем может быть определена локально. Таким образом, квазилокальная энергия --- это энергия всей материи и всех полей, включая гравитационное, заключенных скажем внутри некой сферы (замкнутой поверхности) --- то есть это энергия всего═ такого шара. Замечательно то, что для определения квази-локальной энергии достаточно знать значения потенциалов гравитационного поля только на поверхности сферы. Однако, аналогично методу═ полевого подхода, если в окрестности сферы не ввести фоновое пространство-время, то такая-энергия не будет определена однозначно, а даже будет обращаться в бесконечность. Более предпочтительным представляется подход Брауна и Йорка, где фон задается не руками, а определяется внутренней геометрией окружающей сферы.